2019学年高中数学人教A版典型例题剖析必修一试题 专题02 函数的应用测试题 Word版含解析
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第15页本测试题考查函数与方程 的关系，考查函数的零点，考查函数的应用，重点是考查函数零点个数，零点定理以及函数的简单应用。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分为150分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)
1、函数的零点为（ ）
A、1 B、0 C、－1 D、－2
1、B
【分析和解】解方程，得，即x＝0，所以f（x）的零点为0.
【命题立意】考查函数的零点与方程根的关系。求函数零点即求函数所对应的方程的根。
2、一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、D
【分析和解】由三角形任意两边之和大于第三边，得2x>y且y＝20－2x>0，可得，故选D.
【命题立意】本题主要考查应用题函数定义域的确定，其定义域不仅要使解析式有意义，同时还要受到实际问题的限制。
3、一组试验数据如下表：
t1.021.993.014.04.986.12v0.011.54.047.51218.01则下列四个关系中，最接近试验数据的表达式（所谓最试验数据的表达式是指将表中各组数据代入表达式后，等式左右两边值的差的绝对值不超过1）为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、C
【分析和解】特值验证，可淘汰选择项A，B，D.
【命题立意】考查建立适当的函数模型解决实际问题。
4、据报道，青海湖水在最近50年内减少10％，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、A
【分析和解】设湖水量每年为上年的q％，则，所以q％＝，所以x年后湖水量
【命题立意】考查利用指数模型解决实际问题。
5、函数零点的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、A
【命题立意】考查零点与方程根的关系，解方程困难时，可考虑构造函数，利用图象求解。
6、某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、C
【分析和解】当x＝1时，选项B不符合题意；当x＝2时，选项D不符合题意；当x＝3时，选项A不符合题意。
【命题立意】考查建立合适的模型解决实际问题能力，判断函数式是否符合题意，就是根据题意令x的值，看所得函数值是否与题中的值相等或是相近。
7、已知函数的图象如图所示，那么，必有（ ）
A、 B、
C、 D、
7、A
【分析和解】由图象可知，f（x）＝0的三个根分别为0，1，2，那么，得b＝－3a，因为x<0时，，得a>0.
【命题立意】通过图象考查函数、方程之间的关系，注意应用特殊值、特殊点求解判断。
8、某工厂8年来某种产品年产量y与时间x（年）的函数关系如图，下列四种说法（1）前3年中，年产量的增长速度越来越快，（2）前3年中，年产量的增长速度越来越慢，（3）第3年后，这种产品停止生产，（4）第3年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ）
A、（2）（3） B、（2）（4） C、（1）（3） D、（1）（4）
8、B
【命题立意】考查识图、认图解决实际问题的能力。
9、某种商品2001年提价25％，2004年要恢复成原价，则应降价（ ）
A、30％ B、25％ C、20％ D、15％
9、C
分析：设2001年提价前的价格为a，2004年要恢复成原价应降价x，于是有：
a（1＋25％）（1－x）＝a，解得，即应降价20％.
【命题立意】考查建立函数关系或方程解决实际问题的能力。对于这类问题注意分析变量间的关系，建立适当的目标函数关系式求解。
10、下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、C
【分析和解】因为恒成立，故不存在区间（a，b）使
f（a）f（b）<0，即不能用二分法求零点。
【命题立意】考查用零点的性质定理解决实际问题。
11、要在墙上开一个上半部分为半圆形，下半部分为矩形的窗户，在窗框长度为定长的条件下，要使窗户能透过更多的光线，应设计窗户中矩形的高为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、B
【命题立意】考查建立适当的模型解决实际问题，并求解目标函数的最值。
12、若在[－6，6]上满足f（－6）>1，且f（6）<1，则方程
f（x）＝1解的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
12、A
【分析和解】设g（x）＝f（x）－1，即由f（－6）>1，及f（6）<1，
得[f（－6）－1]·[f（6）－1]<0，即g（－6）g（6）<0，因此，g（x）在（－6，6）内有零点，又当a>0时，g（x）单调递增；当a<0时，g（x）单调递减，故g（x）仅有一个零点。
【命题立意】考查构造函数思想并应用零点定理解决问题，注意说明构造的函数是单调函数。
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13、m的取值范围为_______时，方程的一根大于1，一根小于1.
13、
【命题立意】考查函数与方程的关系，应用数形结合可以巧妙解决。
14、某商品的单价P元与销售量x之间的关系为P＝160－2x，若该商品的成本为R＝500＋30x，则销售量为______时，利润不少于1300元.
14、20至45
【分析和解】由即，销售量在20至45时，利润不少于1300元。
【命题立意】考查建立适当的模型解决实际问题。
15、函数的正零点所在的大致区间为_________.
15、（1，2）
【分析和解】，所以
函数在上是增函数，在上是减函数，又因为
f（1）＝－1－3＋5＝1>0，f（2）＝－4－6＋5＝－5<0，即f（1）f（2）<0，则f（x）在
（1，2）上有零点。
【命题立意】考查零点定理在解题中判断方程根存在的依据。并确定出根所在的区间。
16、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_________.
16、45.6万元
【分析和解】设销一种车为x辆，则另一种车为15－x辆，
由，显然，当x＝10时，利润最大其最大利润为45.6万元。
【命题立意】由题意建立适当的函数模型并求函数的最值问题。
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）已知函数仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点。
（2）当>0，即m>2或m<－2时，两根一正一负，则
又，故这种情况不成立。………………10分
综上所述m＝－2时，f（x）有唯一零点0.…………12分
【命题立意】本题考查零点、方程等知识，还考查了分类讨论思想，注意在设参数t时，须考虑新变量的取值范围，另外>0时的情况不要漏掉，因为t>0，所以＝0时，方程也只有一个正根符合。
【解题关键】明确函数、方程与零点的关系是求解关键。函数仅有一个零点，即方程仅有一实根。
【错解剖析】设参数后没有考虑t的取值范围以及忘记对判别式的讨论都是产生错误的原因。
【变式拓展】证明方程在区间（1，2）内必有一根。
【解题要点】令f（x）＝，则f（x）在区间[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线。因为，f（1）＝1－3＋1＝－1<0，f（2）＝8－6＋1＝3>0，所以，f（1）·f（2）<0.
所以，函数f（x）在区间（1，2）内必有一零点，即方程在区间（1，2）内必有一根。
18、（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数 其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为当月产量的函数f（x）.
（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）
18、分析：
【命题立意】考查分段函数模型中的实际应用问题 。
【解题关键】建立函数关系是解决函数应用题中最关键，也是最困难的一步。本题已知条件中已给出了含参数的函数表达式，这时利用题设的某些自变量与函数值的关系可以确定其系数，从而求得函数关系式。
【错解剖析】不明确分段函数的定义域、值域的内含是不能正确求解本题的错误之一。
【变式拓展】我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足（其中t为关税的税率，且t，x为市场价格，b，k为正常数），当t＝时的市场供应量曲线如下图所示。
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）记市场需求量为a，它近似满足，当p＝a时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值。
分析：给出的是关于t＝的图象，横坐标是价格x，纵坐标是供应量p，且图象上有两点（5，1）和（7，2）.
【解题要点】（1）由图象，知 即 由，
解得b＝5，k＝6.
（2）p＝a时，有＝，即（1－6t）（x－5）＝11－，
由，得，即
令，则
当时，则 则
所以，最小关税税率定为
19、（本小题满分12分）已知函数
（1）求证：f（x）在上为增函数；
（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.01）
19、解：任取，且，则，所以，且，
所以，又因为，，所以
于是
>0
故函数f（x）在上为增函数………………6分
（2）由（1）知，当a＝3时，也在上为增函数，故在也单调递增，因此f（x）＝0的正根只有一个，以下用二分法求这一正根，…………8分
由于f（0）＝－1<0，，取[0，1]为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间中点中点函数值[0，1]0.50.732[0,0.5]0.25－0.084[0.25，0.5]0.3750.328[0.25，0.375]0.31250.124[0.25，0.3125]0.281250.021[0.25，0.28125]0.2656－0.032[0.2656，0.28125]0.27343－0.0055[0.27343，0.28125]由于区间[0.27343，0.28125]的长度为0.00782<0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.………………12分
【命题立意】考查利用函数的单调性的定义证明问题以及二分法求方程的根。
【解题关键】二分法实际是利用中间值定理求方程根的近似值的具体方法，二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提是：函数零点的存在；在应用二分法零点时若函数能够因式分解，可以先因式分解进而求得零点；二分法采用的是“逐步逼近”的方法，逐步逼近的思想在许多数学知识中都有应用，要多加领会。
【变式拓展】已知方程，在区间长度为1的条件下，判断方程的实根所在的大致区间。
【解题要点】令f（x）＝.
f（－1）·f（0）＝（－2）×1＝－2<0,
f（0）·f（1）＝1×－4＝－4<0,
f（1）·f（2）＝（－4）×(－5)＝20>0,
f（2）·f（3）＝（－5）×10＝－50<0.
因为，一个三次方程最多有三个实根，所以，方程在（－1，0），
（0，1），（2，3）内各有一个实根。
20、（本小题满分12分）某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元（即税率为p％），因此每年销售量将减少万件。
（1）将政府每年该商品征收的总税金y（万元），表示成p的函数，并指出这个函数的定义域。
（2）要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p％应该怎样确定？
（3）在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？
（3）当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为
g（p）＝60·（），所以g（p）为减函数，所以
（万元）。………………12分
【命题立意】考查建立适当的函数模型解决实际应用问题。
【解题关键】解决本题需要明确关系式：（1）总税金＝销售量×单价×税率；（2）转化为不等式
构建函数解析式后，不要忘记确定自变量的取值范围，确定自变量的取值范围的方法是依据题中各个量的取值范围来确定，如本例要求商品年销售量且p>0来确定。
【错解剖析】不能读懂题意列不出所需要的关系式是求解应用问题的主要障碍。
【变式拓展】将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次的对折，对折5次后，纸的厚度是多少？对折10次后呢？至少对折多少次，纸的厚度超过珠穆朗玛峰的高度？（这里假设纸尽可能的大，参考数据珠穆朗玛峰的高度为8800m，结果保留两位有效数字）
【解题要点】对折一次后的厚度为0.044×2，对折2次后，纸的厚度为，……可知对折5次后，纸的厚度为＝1.4（mm）；对折10次后，纸的厚度为，对折n次后，纸的厚度是。
令>,所以>，两边取以10为底的对数得：，即得
，所以n。因此，至少对折28次，纸的厚度会超过珠穆朗玛峰的高度。
21、（本小题满分12分）以下是对某一地区不同身高的未成年男性的体重平均值调查统计表：
身高（cm）60708090100110120130140150160170体重（kg）6.137.099.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05 据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍属偏胖，低于0.8倍属偏瘦。现在在某地区某中学一男生，其身高为175cm，体重为78kg，试问他的体重是否正常？
21、分析：可以先根据表中的数据描点画出图象（这个图象称为散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定系数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得函数值是否与已知体重数据基本吻合。
解：以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（1），观察图（2）表示的曲线与学过的二次函数或指数函数比较接近。…………3分
如果选取二次函数，设为，
取 代入得
…………6分
验证发现二次函数的图象与实际图象相差较大，于是考虑用指数函数来拟合。
【命题立意】考查利用图表数据绘制函数图象并利用图象进行曲线拟合。
【解题关键】本例题是实际应用问题，先作出函数图象，观察其变化趋势，选择适当的函数模型，求出具体函数，再检验，当误差较大时，再选用其他的函数模型，再检验修正，直到找到比较理想的函数模型为止。所以解决实际应用问题的步骤是：提出问题――收集数据――整理、分析数据――建立函数模型――解决问题――代入验证。
【错解剖析】画出的图象误差较大，不知采用那种函数进行拟合。
【变式拓展】某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.7万件。由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？
分析：首先建立直角坐标系，画出散点图（如图）；其次根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数：；
二次函数：；
幂函数型：；
指数函数型：
最后用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数。
【解题要点】设月产量为y万件，月份数为x，建立直角坐标系，可得A（1，1），B（2，1，2），C（3，1，3），D（4，1，37）.
（1）对于直线，将B,C两点的坐标代入，有f（2）＝2k＋b＝1.2，
f（3）＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，估f（x）＝0.1x＋1.
将A,D两点的坐标代入得f（1）＝1.1，与实际误差为0.1，f（4）＝1.4，与实际误差为0.03.
（2）对于二次函数，将A,B,C三点的坐标代入，有
g（1）＝a＋b＋c＝1，g（2）＝4a＋2b＋c＝1.2，g（3）＝9a＋3b＋c＝1.3，
解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7. 故将D点的坐标代入，得
，与实际误差为0.07.
（3）对于幂函数型，将A,B两点的坐标代入，有
h（1）＝a＋b＝1， 解得 将C,D两点的坐标代入得，与实际误差为0.05；
，与实际误差为0.11.
（4）对于指数函数型将A,B,C三点的坐标代入，得
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
故 将D点的坐标代入得，与实际误差为0.02.
比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而恰好反映了这种趋势，因此选用比较接近客观实际。
22、（本小题满分14分）北京申办奥运会成功，将全面加快城市建设，北京市某区2000年底有居民住房总面积为a（），其中危旧住房占，新型单元住房占，该区政府为了加快住房改造，计划在5年内全部拆除危旧住房（每年拆除的面积相同），并对现有的新型单元住房以22％的年增长率加快建设（其他类住房保持不变）。用（）表示2000年之后的第n年底该区的居民住房分总面积。
（1）分别写出（只需列式，不必求值），并归纳出的计算公式。
（2）到哪一年底，该区居民住房总面积比原来翻一番或超过一番（精确到年）？
（参考数据：
依次类推，
时，
，…………4分
当n>5时， （此时已无危房）…………6分
所以 …………8分
【命题立意】考查建立合适的函数模型求解实际应用问题。
【解题关键】解决本题的关键是建立恰当的函数关系式，本题求函数关系式应用了归纳法即先让自变量取一些特殊值或较简单的值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式。实际应用问题往往是陌生的一个数学问题，需要认真阅读题意，如果题目所给数量较多，可以借助图形或表格来理解和研究，或由前几项经过归纳推出满足的一般关系式，进而导出函数关系式。
【错解剖析】不能用归纳法正确的列出函数关系式是求解本题的主要问题所在。
【变式拓展】消费者在某超市购买茶壶、茶杯，可以优惠，优惠方法有两种：（1）买一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90％付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）若此购买者想购买4只茶壶和一些茶杯哪种选择更实惠呢？
【解题要点】设某顾客买茶杯x只，付款y元（x>3且），则用第一种方法付款
＝4×20＋（x－4）×5＝5x＋60；
则用第二种方法付款
＝（4×20＋5x）×90％＝4.5x＋72； 接着比较、的相对大小，
设d＝－＝5x＋60－（4.5x＋72）＝0.5x－12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x－12>0，即x>24；
当d＝0时，x＝24；
当d<0时，x<24.综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数少于24只时，法（1）便宜。